数学小论文 小学的约300~500字
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时间:2024-08-17 13:43:57
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数学小论文 小学的约300~500字【专家解说】:<<微元法浅析>>[摘要]此文中主要论述了微元法的基本概念、解题步骤、及其应用和案例分析。[关键词]微积分极限微元“微元法”通俗地
【专家解说】:<<微元法浅析>>
[摘要]此文中主要论述了微元法的基本概念、解题步骤、及其应用和案例分析。
[关键词]微积分极限微元
“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分,取出有代表性的极小的一部分进行分析处理,再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。这是数学思维的一个重要分支。
一. 微积分概述
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,理论基础是不甚不牢固的。直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
微积分是一种严密的数学思想,“无限细分”就是微分,“无限求和”就是积分。无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题的。比如,子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念,子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。
倘若将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量,数学进入了“变量数学”时代,即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
二.微元法的解题步骤:
一般地,如果某一个实际问题中所求量 符合下列条件:
1) 与变量 的变化区间 有关;
2) 对于区间 具有可加性.也就是说,如果把区间 分成许多部分区间,则 相应地分成许多部分量,而 等于所有部分量之和;
3) 部分量 的近似值可以表示为 .
那么,在确定了积分变量以及其取值范围后,可以用以下三步来求解:
第一步 根据问题的具体情况,选取一个变量(如 )为积分变量,并确定它的变化区间 ;
第二步 写出 在任一小区间 上的微元 ,这里常运用“以常代变,以直代曲”等方法;
第三步 以所求量 的微元 为被积表达式,写出在区间 上的定积分,得
.
以上分析问题的方法称为微元法或元素法.
如以速度 (m/s)直线行驶的汽车在 s内行驶的路程(“以常代变”)可视为均速运动下的路程,微元为 ,在 s行驶的路程为 .
三.微元法的应用
高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等,都是用这种方法定义的,还有单摆的周期公式的推导,也用到了这种方法。从数学上讲,是一种微分的思想方法,但在高中物理总复习中,用“微元法”来解有些问题,简捷明了是一种普适的好办法。一般地,“微元法”在解题中的应用有以下三个步骤:
1) 合理“取样”,从局部求整体
2) “化变为恒”、“化曲为直”求瞬时速度
3) 找“联系点”、“联系物”求相关速度
四.微元法案例分析
案例:求物体运动的路程
设某物体作变速直线运动,已知
速度V=V(t)>=0是时间间隔[T1,T2]上的连续函数。
解:
第一步:计算路程微元。
在小时间段上,物体的运动可视为匀速运动用“以常代变”,得路程微元
ds=v(t)dt
第二步:积分。
以v(t)dt为被积表达式,写出在区间[T1,T2]上的定积分,得路程
以速度 v(t)=2t^2(km/h)行驶的汽车在t=0h到t=0.5h行驶的路程为
五.总结
总之,微元法是个很好的解题方法,简单地讲它就是指在构建物理模型时,将待建物理对象或物理过程视作为由许多微小体或元过程组成,而所研究的物理对象或物理过程整体所遵循的物理规律,可通过积分来得到。
参考文献:
[1]刘来福等.《数学模型与数学建模》.北京师范大学出版社.2000.5(P-42)
[2]关士续等.《自然辩证法概论》.高等教育出版社.1994.4(P-139)
[3]李春生.《物理类比方法浅谈现代物理知识》.2003.1
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